【余切函数常用公式】在三角函数中，余切函数（cotangent）是一个重要的基本函数，常用于数学、物理和工程等领域。余切函数是正切函数的倒数，其定义域和值域与正切函数密切相关。为了便于理解和应用，以下总结了余切函数的一些常用公式，并以表格形式进行展示。
一、余切函数的基本定义
余切函数通常记作 $ \cot x $，其定义为：
$$
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
$$
其中 $ x \neq k\pi $，$ k \in \mathbb{Z} $，即当 $ \sin x = 0 $ 时，余切函数无定义。
二、余切函数的周期性与奇偶性
1. 周期性
余切函数是周期函数，周期为 $ \pi $，即：
$$
\cot(x + \pi) = \cot x
$$
2. 奇函数性质
余切函数是奇函数，满足：
$$
\cot(-x) = -\cot x
$$
三、余切函数的导数与积分
| 公式 | 表达式 | ||
| 导数 | $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $ | ||
| 积分 | $ \int \cot x \, dx = \ln | \sin x | + C $ |
四、余切函数的恒等式
| 恒等式 | 表达式 |
| 倒数关系 | $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $ |
| 余角关系 | $ \cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $ |
| 平方恒等式 | $ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x $ |
五、余切函数的和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 和角公式 | $ \cot(a + b) = \frac{\cot a \cot b - 1}{\cot a + \cot b} $ |
| 差角公式 | $ \cot(a - b) = \frac{\cot a \cot b + 1}{\cot b - \cot a} $ |
六、余切函数的倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 二倍角 | $ \cot(2x) = \frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x} $ |
| 三倍角 | $ \cot(3x) = \frac{3\cot x - \cot^3 x}{1 - 3\cot^2 x} $ |
七、余切函数的反函数
余切函数的反函数为 $ \text{arccot} x $，其定义域为 $ (-\infty, +\infty) $，值域为 $ (0, \pi) $。常见关系如下：
- $ \cot(\text{arccot} x) = x $
- $ \text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot} x $
八、余切函数的图像特征
余切函数的图像是一组间隔为 $ \pi $ 的渐近线，且在每个区间 $ (k\pi, (k+1)\pi) $ 上单调递减。其图像与正切函数类似，但方向相反。
九、常用角度的余切值（部分）
| 角度（弧度） | 余切值 $ \cot x $ |
| $ 0 $ | 不存在 |
| $ \frac{\pi}{6} $ | $ \sqrt{3} $ |
| $ \frac{\pi}{4} $ | $ 1 $ |
| $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ |
| $ \frac{\pi}{2} $ | 0 |
| $ \frac{2\pi}{3} $ | $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $ |
| $ \frac{3\pi}{4} $ | $ -1 $ |
| $ \frac{5\pi}{6} $ | $ -\sqrt{3} $ |
十、总结
余切函数作为三角函数的重要组成部分，在数学分析、几何学以及工程计算中具有广泛的应用。掌握其基本定义、性质、公式和图像特征，有助于更好地理解和运用这一函数。通过上述表格形式的整理，可以更清晰地看到余切函数的各类公式及其应用场景。
如需进一步探讨余切函数在具体问题中的应用，可结合实际例子进行深入分析。