【一元二次不等式解法】一元二次不等式是初中到高中阶段数学学习中的重要内容，其解法涉及二次函数的图像、判别式以及根的分布情况。掌握一元二次不等式的解法，有助于理解函数的单调性、极值点以及实际问题中的最优化分析。
在解决一元二次不等式时，通常需要先将不等式化为标准形式：
ax² + bx + c > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0），其中 a ≠ 0。
接下来，通过求解对应的方程 ax² + bx + c = 0 的根，并结合二次函数的图象特征，可以判断不等式的解集。
一、解法步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 将不等式整理为标准形式：ax² + bx + c > 0 或类似形式。 |
| 2 | 求出对应的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根（判别式 Δ = b² - 4ac）。 |
| 3 | 根据判别式的值判断根的情况： - 若 Δ > 0，则有两个不同的实数根； - 若 Δ = 0，则有一个实数根（重根）； - 若 Δ < 0，则无实数根。 |
| 4 | 根据二次函数的开口方向（a > 0 向上，a < 0 向下）和根的位置，确定不等式的解集。 |
| 5 | 结合不等号的方向，写出最终的解集区间。 |
二、常见情况与解集对比表
| 不等式形式 | 判别式 Δ | 根的情况 | 开口方向 | 解集范围 |
| ax² + bx + c > 0 | Δ > 0 | 两个不同实根 x₁, x₂ | a > 0 | (-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞) |
| ax² + bx + c > 0 | Δ > 0 | 两个不同实根 x₁, x₂ | a < 0 | (x₁, x₂) |
| ax² + bx + c ≥ 0 | Δ = 0 | 一个实根 x₀ | a > 0 | (-∞, +∞) |
| ax² + bx + c ≤ 0 | Δ = 0 | 一个实根 x₀ | a < 0 | {x₀} |
| ax² + bx + c < 0 | Δ < 0 | 无实根 | a > 0 | 无解 |
| ax² + bx + c ≥ 0 | Δ < 0 | 无实根 | a < 0 | (-∞, +∞) |
三、实例解析
例1：解不等式 x² - 5x + 6 > 0
1. 方程 x² - 5x + 6 = 0 的根为 x₁ = 2，x₂ = 3。
2. 因为 a = 1 > 0，抛物线开口向上。
3. 所以不等式成立的区域为：(-∞, 2) ∪ (3, +∞)
例2：解不等式 -2x² + 4x - 2 ≤ 0
1. 方程 -2x² + 4x - 2 = 0 化简为 x² - 2x + 1 = 0，根为 x = 1（重根）。
2. 因为 a = -2 < 0，抛物线开口向下。
3. 所以不等式成立的区域为：{1}
四、注意事项
- 在书写解集时，注意是否包含端点（根据不等号是否为“≥”或“≤”）。
- 当判别式为负时，需判断 a 的正负来决定是否有解。
- 实际应用中，可借助数轴法辅助分析解集范围。
通过以上方法和步骤，可以系统地掌握一元二次不等式的解法，提升对二次函数性质的理解和应用能力。