【修正的拟合优度怎么算】在统计学中，拟合优度（Goodness of Fit）用于衡量模型对数据的拟合程度。常见的拟合优度指标包括R²（决定系数）和调整后的R²（Adjusted R-squared）。其中，调整后的R²是对R²的修正，尤其适用于多元回归分析中，以避免因增加自变量而导致的虚假拟合。
一、什么是修正的拟合优度？
修正的拟合优度，通常指的是调整后的R²（Adjusted R-squared），它在原始R²的基础上进行了调整，考虑了模型中自变量的数量与样本量之间的关系。其目的是防止模型因为加入更多不相关的变量而显得“更好”。
二、调整后的R²公式
调整后的R²计算公式如下：
$$
\text{Adjusted } R^2 = 1 - \left( \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1} \right)
$$
其中：
- $ R^2 $：普通决定系数
- $ n $：样本数量
- $ k $：自变量个数
这个公式通过惩罚更多的自变量来反映模型的真实拟合效果。
三、调整后的R²与普通R²的区别
| 特性 | 普通R² | 调整后的R² |
| 定义 | 表示模型解释的总变异比例 | 在R²基础上调整，考虑变量数量 |
| 取值范围 | [0, 1] | [0, 1] |
| 增加变量影响 | 会随着变量增加而上升 | 不一定上升，可能下降 |
| 适用场景 | 简单线性回归 | 多元回归分析 |
| 优点 | 简单直观 | 更准确反映模型质量 |
四、如何计算调整后的R²？
假设我们有以下数据：
| 样本 | 自变量X1 | 自变量X2 | 因变量Y |
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 3 | 5 |
| 3 | 3 | 4 | 7 |
| 4 | 4 | 5 | 9 |
进行多元线性回归后，得到：
- $ R^2 = 0.98 $
- $ n = 4 $
- $ k = 2 $
代入公式：
$$
\text{Adjusted } R^2 = 1 - \left( \frac{(1 - 0.98)(4 - 1)}{4 - 2 - 1} \right) = 1 - \left( \frac{0.02 \times 3}{1} \right) = 1 - 0.06 = 0.94
$$
因此，调整后的R²为 0.94，说明模型虽然有较高的R²，但考虑到变量数量，拟合效果稍有下降。
五、总结
调整后的R²是评估多元回归模型拟合优度的重要指标，能够更真实地反映模型的实际解释能力。相比普通的R²，它避免了因变量过多而带来的高估问题。在实际建模过程中，应优先参考调整后的R²来判断模型的质量。
表格总结：
| 指标 | 公式 | 说明 |
| R² | $ R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} $ | 衡量模型解释的总变异比例 |
| 调整后的R² | $ 1 - \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1} $ | 考虑变量数量的R²修正值 |
| 适用场景 | 单变量或简单模型 | 多变量回归模型 |
| 优点 | 简单易懂 | 更准确反映模型质量 |
通过合理使用调整后的R²，可以更科学地评估和选择回归模型。