【向量积计算公式】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量代数中的一个重要概念，主要用于三维空间中两个向量的乘法运算。向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量所构成的平面，大小则由这两个向量的模和夹角决定。
在数学和物理中，向量积常用于计算力矩、磁场中的运动电荷受力、旋转体的角动量等。因此，掌握向量积的计算方法具有重要意义。
一、向量积的基本定义
设两个向量为 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的向量积记作 $\vec{a} \times \vec{b}$，其结果是一个向量，表示为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 3. 标量倍数 | $k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})$ | ||||||
| 4. 垂直性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直 | ||||||
| 5. 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角 |
三、向量积的应用
| 应用场景 | 说明 | ||
| 力矩计算 | 在力学中，力矩 $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ | ||
| 磁场作用力 | 运动电荷在磁场中受到的力：$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ | ||
| 旋转运动 | 角动量 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ | ||
| 计算面积 | 两个向量所形成的平行四边形面积等于 $ | \vec{a} \times \vec{b} | $ |
四、向量积计算示例
假设 $\vec{a} = (2, 3, 4)$，$\vec{b} = (1, 2, 3)$，求 $\vec{a} \times \vec{b}$。
根据公式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2, 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = (9 - 8, 4 - 6, 4 - 3) = (1, -2, 1)
$$
所以，$\vec{a} \times \vec{b} = (1, -2, 1)$。
五、总结
向量积是一种重要的向量运算方式，广泛应用于物理和工程领域。通过掌握其计算公式和性质，可以更有效地解决涉及方向和大小的问题。在实际应用中，向量积不仅能帮助我们确定方向，还能用于计算面积、力矩、角动量等关键物理量。