【微积分公式介绍】微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。它主要研究函数的变化率（微分）和累积总量（积分）。以下是对微积分中常用公式的总结，以文字加表格的形式呈现。
一、微分基本公式
微分是研究函数在某一点的瞬时变化率。以下是常见的微分法则与公式：
| 公式 | 说明 |
| $ \frac{d}{dx} c = 0 $ | 常数的导数为0 |
| $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $ | 指数函数导数 |
| $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $ | 自然对数导数 |
| $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $ | 正弦函数导数 |
| $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $ | 余弦函数导数 |
| $ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x $ | 正切函数导数 |
| $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $ | 余切函数导数 |
此外，还有乘积法则、商法则和链式法则等用于复合函数的求导。
二、积分基本公式
积分是微分的逆运算，用于计算面积、体积等累积量。以下是一些常见的积分公式：
| 公式 | 说明 | ||
| $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分 | ||
| $ \int e^x dx = e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 倒数函数积分 |
| $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | 正弦函数积分 | ||
| $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 余弦函数积分 | ||
| $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | 正切函数积分 | ||
| $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ | 余切函数积分 |
积分还分为不定积分和定积分，其中定积分可以用来计算曲线下的面积。
三、常见微积分应用公式
在实际问题中，微积分常用于优化、运动分析、概率分布等场景。以下是一些典型的应用公式：
| 应用 | 公式示例 |
| 最大值/最小值 | 导数为零点：$ f'(x) = 0 $ |
| 曲线面积 | $ A = \int_a^b f(x) dx $ |
| 体积计算（旋转体） | $ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $ |
| 平均值 | $ \text{Avg} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $ |
| 物理运动 | 速度 $ v(t) = \frac{ds}{dt} $，加速度 $ a(t) = \frac{dv}{dt} $ |
四、小结
微积分作为数学的重要工具，不仅帮助我们理解变量之间的关系，还在多个领域中发挥着关键作用。掌握其基本公式和应用方法，有助于解决实际问题。通过不断练习和应用，可以更深入地理解微积分的本质与价值。