【sinx的平方的导数怎样求】在微积分中，求函数的导数是基础且重要的内容。对于函数 $ y = \sin^2 x $，其导数的求法需要应用复合函数的求导法则——链式法则。下面将对这一过程进行详细总结，并通过表格形式展示关键步骤和结果。
一、问题分析
函数 $ y = \sin^2 x $ 是一个复合函数，可以看作是由两个函数构成：
- 外层函数：$ u^2 $
- 内层函数：$ u = \sin x $
因此，我们需要使用链式法则来求导，即：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(u^2) \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、求导过程
1. 外层函数求导
$ \frac{d}{du}(u^2) = 2u $
2. 内层函数求导
$ \frac{du}{dx} = \cos x $
3. 代入并简化
$$
\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2\sin x \cdot \cos x
$$
4. 进一步化简（可选）
根据三角恒等式，$ 2\sin x \cos x = \sin(2x) $，所以也可以表示为：
$$
\frac{dy}{dx} = \sin(2x)
$$
三、总结与对比
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 函数形式 | $ y = \sin^2 x $ |
| 2 | 外层函数 | $ u^2 $，其中 $ u = \sin x $ |
| 3 | 外层导数 | $ \frac{d}{du}(u^2) = 2u $ |
| 4 | 内层导数 | $ \frac{du}{dx} = \cos x $ |
| 5 | 合并导数 | $ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2\sin x \cos x $ |
| 6 | 简化形式 | $ \frac{dy}{dx} = \sin(2x) $ |
四、结论
对 $ y = \sin^2 x $ 求导，最终结果为：
$$
\frac{dy}{dx} = 2\sin x \cos x \quad \text{或} \quad \sin(2x)
$$
两种表达方式本质相同，只是形式不同，适用于不同的应用场景。
通过上述步骤和表格，我们可以清晰地看到如何利用链式法则求出 $ \sin^2 x $ 的导数。掌握这类复合函数的求导方法，有助于解决更复杂的微积分问题。